Domain decomposition method for electromagnetic modelling and quantitative microwave imaging in large-scale three-dimensional configurations
Méthodes de décomposition de domaines pour la modélisation électromagnétique et l'imagerie micro-onde quantitative dans des configurations tridimensionnelles de grande taille
Résumé
The PhD work presented here is devoted to the electromagnetic modeling. As a very important representative of this domain, the inverse problems become more and more popular because of its applications, such as the biomedical or geophysical engineering. The quantitative inverse scattering algorithms attempt to estimate from scattering experiments the physical parameters and features (position, form, size and complex permittivity) of a target. From the mathematical point of view, we can point out two main challenges which are associated with quantitative microwave imagining. These are ill-posedness of the electromagnetic inverse scattering problem and its non-linearity. In order to solve these problems, we considering a Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) quasi- Newton optimization algorithm with line search, which searches for a new estimation of the relative permittivity in the investigation test domain, i.e. a domain where we are sure to have the objects. Taking advantage of the Lagrangian formalism and the definition of an ad-hoc adjoint field, we can calculate the gradients with respect to the relative permittivity. This leads the the necessity of the resolution two direct problems at every iteration step of the inversion algorithm.
Various methods have been developed for this resolution. In particular, the Finite-Element Method (FEM) is a numerical technique used to obtain approximate solutions to boundary-value problems treating most complex geometry and physics. However, solving large-scale electromagnetic problems
with FEM is very challenging in terms of memory and time of computations. That is why, the part of this PhD work is dedicated to the implementation of the method FETI which is based on the Domain Decomposition technique applied to the Finite-element method. The principal idea of the FETI method consists in dividing the entire domain into non-overlapping subdomains in order to construct a system of linear equations, called the Interface problem, which solution can be used as an unknown boundary condition for every local subdomain. With the aide of these boundary conditions we can then calculate the electromagnetic problem inside each subdomain in independent way. In the framework of this PhD thesis we have proposed a modification of the classical FETI-DPEM2 method in order to improve the transmission conditions between subdomains. The new approach has been called the FETI-DPEM2-full method.
Les travaux pr´esent´es tout au long de cette th`ese portent sur la mod´elisation ´electromagn´etique.
Dans ce domaine-l`a, les probl`emes inverses deviennent de plus en plus populaires et importants dans
plusieurs applications telles que l’ing´enierie bio-m´edicale ou g´eophysique. La solution d’un probl`eme
inverse nous permet de d´eterminer les objets plac´es dans des environnements r´ealistes `a partir de
quelques informations sur le champ diffract´e en diff´erents points d’observation. Par ”d´eterminer un
objet” nous assemblons 3 probl´ematiques suivantes : nous cherchons tout d’abords `a d´etecter et localiser
cet objet, ensuite reconstruire sa forme et enfin, identifier les propri´et´es physiques, en particulier
- la permittivit´e relative. D’un point de vue math´ematique ce probl`eme-l`a est un repr´esentant classique
des probl`emes mal poses, c’est-`a-dire, c’est un probl`eme sou-d´etermin´ee dont la solution n’est
pas unique ou n’existe pas. Cela nous conduit `a l’existence de minima locaux, que nous esp´erons
de trouver. Nous nous basons sur une m´ethode it´erative de type quasi-Newton utilisant la formule
Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS), qui nous permet de trouver une nouvelle estimation de
la permittivit´e relative dans un domaine de test, c’est-`a-dire, un domaine o`u nous pr´evoyions d’avoir
les objets. L’id´ee pour calculer le gradient de la fonction coˆut repose sur la formulation Lagrangienne.
Cela conduit `a la n´ecessit´e de r´esoudre deux probl`emes directs afin de trouver le champ Total et le
champ Adjoint qui sont la clef de processus efficace.
Plusieurs m´ethodes ont ´et´e d´evelopp´es depuis ces derni`eres ann´ees, dans le but de calculer les
probl`emes directs ´electromagn´etiques. En particulier, nous voudrions excr´eter la m´ethode des ´el´ements
finis qui nous permets de traiter des milliers complexes que ce soit inhomog´ene ou anisotrope.
N´eanmoins r´esolution des probl`emes ´electromagn´etiques haut-fr´equences de grande ´echelle avec cette
m´ethode peut ˆetre trait´e comme un d´efi, car elle prends beaucoup de m´emoire et de temps. Alors,
ce travail est consacr´e aussi `a l’impl´ementation d’une m´ethode FETI qui est bas´e sur la technique
de d´ecomposition de domaines appliqu´e au principe des ´el´ements finis. Son id´ee principale consiste
`a diviser le domaine num´erique entier en sous-domaines afin de construire un syst`eme d’´equations
lin´eaires, qui s’appelle le probl`eme aux interfaces, dont la solution peut nous servir comme les conditions
aux limites pour chaque sous-domaine locale. `A partir de la connaissance des conditions aux
limites nous pouvons calculer le probl`eme ´electromagn´etique dans chaque petit sous-domaine de la
mani´er´e ind´ependante. Dans le cadre de cette th`ese nous avons propos´e une modification de m´ethode
FETI-DPEM2 dans le but d’am´eliorer les conditions de transmission entre les sous-domaines. Cette
nouvelle approche a ´et´e nomm´e comme FETI-DPEM2-full m´ethode.
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