Semi-classical quantization rules for a periodic orbit of hyperbolic type

Règles de quantification semi-classique pour une orbite périodique de type hyberbolique

Hanen Louati (1)

1 CPT - Centre de Physique Théorique - UMR 7332

In this Thesis we consider semi-excited resonances for a h-Pseudo-Differential Operator (h-PDO for short) H(x, hDx; h) on L2(M) induced by a periodic orbit of hyperbolic type at energy E = 0, as arises when M = Rn and H(x, hDx; h) is Schrödinger operator withAC Stark effect, or H(x, hDx; h) is the geodesic flow on an axially symmetric manifold M,extending Poincaré example of Lagrangian systems with 2 degree of freedom. We generalizethe framework of Gérard and Sjöstrand, in the sense that we allow for hyperbolic and ellipticeigenvalues of Poincaré map, and look for (excited) resonances with imaginary part of magnitude hs, with 0 < s < 1,It is known that these resonances are given by the zeroes of a determinant associatedwith Poincaré map. We make here this result more precise, in providing a first order asymptoticsof Bohr-Sommerfeld quantization rule in terms of the (real) longitudinal and (complex)transverse quantum numbers, including the action integral, the sub-principal 1-form and Gelfand-Lidskii index.

On étudie les résonances semi-excitées pour un Opérateur h-Pseudo-différentiel (h-PDO)H(x, hDx) sur L2(M) induites par une orbite périodique de type hyperbolique à l’énergie E = 0. Par exemple M = Rn et H(x, hDx; h) est l’opérateur de Schrödinger avec effet Stark, ouH(x, hDx; h) est le flot géodesique sur une variété axi-symétrique M, généralisant l’exemplede Poincaré de systèmes Lagrangiens à 2 degrés de liberté. On étend le formalisme de Gérard and Sjöstrand, au sens où on autorise des valeurs propres hyperboliques et elliptiques del’application de Poincaré, et où l’on considère des résonances dont la partie imaginaire est del’ordre de hs, pour 0 < s < 1.On établit une règle de quantification de type Bohr-Sommerfeld au premier ordre en fonction des nombres quantiques longitudinaux (réels) et transverses (complexes), incluantl’intégrale d’action le long de l’orbite, la 1-forme sous-principale, et l’indice de Conley-Zehnder.

Mots clés: Semi-classical spectral asymptotics; Periodic orbits; Quantum monodromy operator; Bohr-Sommerfeld quantization rules

Mots clés: Asymptotique spectrale semi-classique; Orbite périodique; Opérateur de monodromie quantique; Règles de quantification de Bohr-Sommerfeld

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Hanen Louati. Règles de quantification semi-classique pour une orbite périodique de type hyberbolique. Mathématiques générales [math.GM]. Université de Toulon; Université de Tunis El-Manar. Faculté des Sciences de Tunis (Tunisie), 2017. Français. ⟨NNT : 2017TOUL0004⟩. ⟨tel-01684763⟩