Explicit staggered schemes for compressible flows
Schémas numériques explicites pour le calcul d'écoulements compressibles
Résumé
We develop and analyse explicit in time schemes for the computation of compressible flows, based on staggered in space. Upwinding is performed equation by equation only with respect to the velocity. The pressure gradient is built as the transpose of the natural divergence. For the barotropic Euler equations, the velocity convection is built to obtain a discrete kinetic energy balance, with residual terms which are non-negative under a CFL condition. We then show that, in 1D, if a sequence of discrete solutions converges to some limit, then this limit is the weak entropy solution. For the full Euler equations, we choose to solve the internal energy balance since a discretization of the total energy is rather unnatural on staggered meshes. Under CFL-like conditions, the density and internal energy are kept positive, and the total energy cannot grow. To obtain correct weak solutions with shocks satisfying the Rankine-Hugoniot conditions, we establish a kinetic energy identity at the discrete level, then choose the source term of the internal energy equation to recover the total energy balance at the limit. More precisely speaking, we prove that in 1D, if we assume the L∞ and BV-stability and the convergence of the scheme, passing to the limit in the discrete kinetic and internal energy equations, we show that the limit of the sequence of solutions is a weak solution. Finally, we consider the computation of radial flows, governed by Euler equations in axisymetrical (2D) or spherical (3D) coordinates, and obtain similar results to the previous sections. In all chapters, we show numerical tests to illustrate for theoretical results.
On étudie des schémas de type explicite en temps sur maillage décalé non structuré pour l’approximation des écoulements compressibles. Pour chacune des équations considérées, séparément, un décentrement amont est effectué sur la vitesse matérielle. L’opérateur de gradient de pression discret est défini comme la transposée de l’opérateur de divergence discrète, et c’est donc un opérateur centré. Dans un premier temps, on s’intéresse aux équations d’Euler barotrope. Le terme de convection non linéaire en vitesse est construit de manière à ce que les solutions approchées satisfassent, sous condition de CFL, un bilan d’énergie cinétique discret (avec, au premier membre, un terme résiduel positif). On montre ensuite qu’en une dimension d’espace (1D), le schéma est consistant, au sens où si les solutions approchées convergent vers une limite lorsque les pas de temps et maillage tendent vers 0, alors cette limite est solution faible entropique du problème continu. Des tests numériques permettent de vérifier la convergence du schéma, avec un ordre proche d’un. Dans un deuxième temps, on traite les équations d’Euler complètes. Plutôt que de résoudre l’équation d’énergie totale, choix traditionnel des schémas colocalisés, on préfère résoudre l’équation d’énergie interne, ce qui présente deux avantages : d’une part, on évite d’avoir à discrétiser l’énergie totale, qui fait intervenir l’énergie interne et la pression, variables qui ne sont pas définies sur le même maillage ; d’autre part, une discrétisation ad hoc de l’énergie interne assure la positivité de cette dernière sous condition de CFL. Cependant, l’utilisation de l’équation d’énergie interne nécessite des précautions : le fait de ne pas travailler sur l’énergie totale peut en effet faire apparaitre des solutions approchées qui ne tendent pas vers une solution faible des équations d’Euler, et qui en particulier, ne vérifient pas les relations de Rankine et Hugoniot et font apparaitre des mauvaises vitesses de choc. Le remède est de s’assurer que le bilan d’énergie total soit bien assuré à la limite, en écrivant ce bilan comme la somme du bilan d’énergie interne et du bilan d’énergie cinétique, et en introduisant dans l’équation d’énergie interne discrète un terme de correction qui compense le terme résiduel (positif) du bilan d’énergie cinétique décrit plus haut, et qui ne tend pas vers 0. Dans ce cas encore, on montre que dans le cas 1D, si les solutions approchées convergent, alors elles convergent vers une solution faible des équations d’Euler. Les résultats numériques corroborent la théorie. Enfin, dans une troisième partie, pour des écoulements radiaux uniquement, on discrétise des équations d’Euler en coordonnées cylindriques (2D) ou sphériques (3D); les résultats obtenus sont similaires aux précédents.